余弦定理 斯特瓦尔特定理

余弦定理

1．对余弦定理的解析说明(1)勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．(2)与正弦定理一样，余弦定理揭示了三角形的边角之间的关系，是解三角形的重要工具之一．(3)余弦定理的三个等式中，每一个都包含四个不同的量，它们是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，就可以求出第四个量．(4)运用余弦定理时，若已知三边(求角)或已知两边及夹角(求第三边)，则由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．2．对余弦定理推论的理解余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．

斯特瓦尔特定理

斯特瓦尔特定理（Stewart's theorem）是一个描述三角形的三条边与切氏线（Cevian）长度之间关系的平面几何定理，其中切氏线是指三角形中一个顶点和对边上任意一点的连线。

该定理的基础几何图形结构看似简单，但其含有6条线段元素，定理表达式记忆起来有一定难度。

本文书写的定理表达式相对容易记忆，希望对大家有所帮助。

一、斯特瓦尔特定理的基本内容如图1，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD(切氏线），则有：AB²·DC+AC²·BD﹣AD²·BC = BC·BD·DC。

下面介绍一种证明方法，具体步骤如下。

作AH⊥BC，垂足为H（图2）。

根据勾股定理：AC²=AH²+HC²= AH²+(DC-DH) ²= AH²+DC ²-2DC·DH+DH ²=( AH²+ DH ²) +DC ²-2DC·DH=AD²+DC ²-2DC·DH…………①;同理证明AB² =BD² +AD² +2BD·DH…………②。

将①两边同时乘BD得：AC²·BD= AD²·BD +DC ²·BD -2DC·DH·BD……③;将②两边同时乘DC得：AB²·DC =BD²·DC +AD²·DC +2BD·DH·DC……④。

将④+③得：AB²·DC+ AC²·BD= BD²·DC +AD²·DC + AD²·BD +DC ²·BD= AD²（DC+BD）+ BD·DC（BD+DC）= AD²·BC+BC·BD·DC。

故AB²·DC+AC²·BD﹣AD²·BC = BC·BD·DC成立。

二、斯特瓦尔特定理的推论在斯特瓦尔特定理的基础上，如果切氏线为中线和角平分线时，我们可以得出如下推论。

1.中线长定理，又称阿波罗尼奥斯定理，是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，指的是三角形两边边长平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍。

如图3，D为BC的中点，连接AD，则BD=DC，BC=2BD，可将上述公式作如下变形：AB²·DC+AC²·BD﹣AD²·BC = BC·BD·DC，即AB²·BD+AC²·BD﹣AD²·2BD =2BD·BD ²，简化后：AB²+ AC²=2（AD ²+ BD ²）。

2.角平分线长定理，即斯库顿定理。

在△ABC中，当AD为角平分线时（图4），则有下面的线段关系：AD ²=AB·AC- BD·DC。

设AB=x，AC=y，BD=m，DC=n，根据角平分线定理有：AB/AC=BD/DC，即x/y=m/n,则m=xn/y, n=ym/x。

由斯特瓦尔特定理得：AB²·DC+AC²·BD﹣AD²·BC = BC·BD·DC，即x ²n+y ²m- AD²(m+n)= (m+n)mn,x ²(ym/x)+y ²(xn/y) - AD²(m+n)= (m+n)mn,xym+xyn - AD²(m+n)= (m+n)mn,xy(m+n) - AD²(m+n)= (m+n)mn,AD²= xy-mn,则AD²=AB·AC-BD·DC成立。

3.平行四边形的四边对角线平方和定理，即平行四边形的四条边的边长的平方和等于对角线长的平方和。

如图5，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于M，则有AB²+AD²+DC²+BC²=AC²+BD²。

根据平行四边形的性质，对角线AC、BD相互平分，M为BD和AC的中点，MB=MD=1/2BD；MA=MC=1/2AC。

AM、CM分别为△ABD、△BCD的中线，根据中线长定理得：AB²+AD²=2（AM²+BM²），BC²+CD²=2(MC²+BM²)，由此AB²+AD²+ BC²+CD²=4 AM²+4BM²=4（1/2AC）²+4(1/2BD) ²= AC²+BD²,则AB²+AD²+DC²+BC²=AC²+BD²成立。